Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

Решение линейных уравнений с одной переменной

Перенос в уравнении через равно при умножении и делении
Уравнения, решение уравнений

После того как мы узнали, что такое уравнение, и научились решать самые простые из них, в которых находили неизвестное слагаемое, уменьшаемое, множитель и т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения, целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид.

Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию.

В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Уравнение вида a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x, здесь коэффициент a равен 5, а число b есть 10.

Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y, в котором a=−2,3 и b=0.

А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2, а во втором – b=3,33.

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6, и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0, здесь коэффициент a равен 2, а b – равен −12, и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6. Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0, а a·x=b, например, 3·x=12.

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0. Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени.

А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0, будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям. При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6, 4+25·y=6+24·y, 4·(x+5)=12 и т.п.

– это уравнения, сводящиеся к линейным.

К началу страницы

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0. Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b. При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

  • единственный корень при a≠0,
  • не имеет корней при a=0 и b≠0,
  • имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0, в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям, то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней.

Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

  • перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
  • а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b.

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a, после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a, этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x1. Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x2, причем x2≠x1, что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x1−x2≠0. Так как x1 и x2 корни линейного уравнения a·x+b=0, то имеют место числовые равенства a·x1+b=0 и a·x2+b=0.

Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств, имеем a·x1+b−(a·x2+b)=0−0, откуда a·(x1−x2)+(b−b)=0 и дальше a·(x1−x2)=0. А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x1−x2≠0.

Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0.

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0. Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0.

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0. Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x, при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0. Это равенство верное, когда b=0, а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0. А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0.

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

  • Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.
  • Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
  • Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
  • Если же a отлично от нуля, то
    • коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b,
    • после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b. Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

  • Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
  • Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
  • Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a, откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a.

К началу страницы

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0, что то же самое, b=0. Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0?

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7, то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.

нет, данное линейное уравнение не имеет решений.

Найдите корень уравнения 0,3·x−0,027=0.

Нам требуется решить линейное уравнение, в котором коэффициент a равен 0,3, то есть, отличен от нуля, и коэффициент b равен −0,027.

Согласно алгоритму решения линейных уравнений вида a·x+b=0, мы сначала переносим b в правую часть уравнения с противоположным знаком, в результате исходное уравнение примет вид 0,3·x=0,027. А теперь делим обе части уравнения на a, то есть, на 0,3, имеем . Остается лишь выполнить деление десятичных дробей: . Так найден корень линейного уравнения, равный 0,09.

Приведем краткую запись решения:

Для полноты картины рассмотрим решение уравнений вида a·x=b. Решить их позволяет второй алгоритм из предыдущего пункта.

Решите уравнения 1) 0·x=0, 2) 0·x=−7 и 3) .

Записанные уравнения соответствуют виду a·x=b.

Уравнению 0·x=0 отвечают коэффициенты a=0 и b=0, откуда заключаем, что любое число является корнем этого уравнения.

Во втором случае a=0 и b=−7, следовательно, уравнение 0·x=−7 не имеет корней.

Наконец, последнему уравнению соответствуют коэффициенты . Здесь a отлично от нуля, поэтому, согласно алгоритму, делим обе части уравнения на это число, что нам дает .

Осталось упростить полученную дробь: , здесь мы сначала применили правило деления отрицательных чисел, затем в числителе перевели смешанное число в обыкновенную дробь, и, наконец, выполнили деление обыкновенных дробей.

Таким образом, искомым корнем является число 10.

Кратко решение этого уравнения можно записать так:

1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x=10.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. – 240 с. : ил. – ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2013. – 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/equations/linear_equations.html

Линейные уравнения. Полное руководство (2020)

Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое «линейные уравнения»

Все мы с детства знаем такую задачу: «У Васи есть   яблок. Мальчик решил поделиться яблоками с   друзьями. Сколько яблок досталось каждому другу?» Каждый из нас, не задумываясь, ответит: «Каждому другу досталось по   яблока». А вот теперь я предлагаю все же задуматься… Да-да. Оказывается, отвечая на такой простой вопрос ты в голове решаешь линейное уравнение! Смотри:

  или в устной форме – трем друзьям дали по   яблок из расчета, что всего в наличии у Васи   яблок.

Соответственно, дальше ты находишь   путем деления произведения на известный тебе множитель:

И вот ты уже решил линейное уравнение
Теперь дадим этому термину математическое определение.

Линейное уравнениеэто алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна  . Оно выглядит следующим образом:

 , где   и   – любые числа и

 .

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

  – «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

Иными словами линейное уравнение это такое уравнение, у которого нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., здесь есть дроби, но и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс.

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида  , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

Мы видим, что справа стоит  , что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное.

Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет  , но не надо торопиться с выводами! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными. Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.

Перенос влево – вправо

Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:

Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно,  , а не как не  . И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно,  .

Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно – в правую, помня, что если перед числом нет никакого знака, например,  , то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».

ВАЖНО: при переносе через знак равенства, знаки при слагаемых меняются на противоположные.

Перенес? Что у тебя получилось?

Все, что осталось сделать – привести подобные слагаемые. Приводим:

Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал. Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

Умножение-деление

Начнем сразу же с примера

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от  ), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на  ! Все – это означает и левую, и правую часть. Так и только так! Что у нас получается?

Вот и ответ.

Посмотрим теперь другой пример:

Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на  ! Какой ты получил ответ? Правильно.  .

ВАЖНО: при делении, либо умножении на какое-либо число, действие совершается как в левой, так и в правой части уравнения

Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего – Например, для решения нашего большого примера:

Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!

Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему «Формулы сокращенного умножения», так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:

Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом.

Складываем все отдельно – множители, у которых есть  , множители, у которых есть   и остальные множители, в которых нет неизвестных.

Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти  !

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования – тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других.

Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.

Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.

Линейные уравнения. Примеры.

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на  :

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на  , чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы  ? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда   невозможна. Почему?
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:

Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными

Теперь перейдем к чуть более сложному – линейным уравнениям с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:

 , где  ,   и   – любые числа и  .

Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.

Какой бы привести тебе жизненный пример… Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а   яблока оставит себе. Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по   яблоку? А по  ? А если по  ?

Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

 , где

  •   – количество яблок, которое получит   человек ( , или  , или  );
  •   – количество яблок, которое Вася возьмет себе;
  •   – сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст   яблоко, то ему необходимо покупать   штук, если даст   яблока –   и т.д.

И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике? Строим и отмечаем значение наших  , то есть точки, с координатами  ,   и  !

Как ты видишь,   и   зависят друг от друга линейно, отсюда и название уравнений – «линейные».

Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

Найди и отметь на обоих рисунках точки  , соответствующие  .
Что у тебя получилось?

Ты видишь, что на графике первой функции одному   соответствует один  , то есть   и   линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию.

Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике   так же соответствует   икс –   , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой  , которому соответствует не только один  .

Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия.

С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет   в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например   или  . Но я тебя уверяю – ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

А что будет, если мы разделим что-то на  , например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость   и  ? Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции  .

Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Подведем итоги:

  1. Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна  .
  2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
     , где   и   – любые числа  ;
    Линейное уравнение с двумя переменными:
     , где  ,   и  – любые числа  .
  3. Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

Линейные уравнения. коротко о главном

1. Линейное уравнение

Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна  .

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:

 , где   и   – любые числа  ;

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

 , где  ,   и  – любые числа  .

4. Тождественные преобразования

Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

  • перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
  • умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это – не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Источник: https://youclever.org/book/linejnye-uravneniya-1

Правила знаков при умножении и сложении

Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

Правильно ли мы понимаем умножение?

“- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
– Осталась ваша буква И”.

(Из к/ф “Отроки во Вселенной”)

Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

7 * 0 = 0

Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

-7 * (-3) = + 21

Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой…

Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

7 * 3 = 21

7 – множимое. 3 – множитель. 21- произведение.

По официальной формулировке:

  • умножить число на другое число – значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.

По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

Исправим формулировку умножения

Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А если мы будем умножать на три минус семь?

– 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = – 21

Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

– 7 * 3 = 0 – 7 – 7 – 7 = – 21

Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

  • Умножение – это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.

По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются “правила знаков” при умножении, когда множитель отрицательный.

7 * (-3) – должно быть после нуля три знака “минус” = 0 – (+7) – (+7) – (+7) = – 21

– 7 * (-3) – снова должно быть после нуля три знака “минус” =

= 0 – (-7) – (-7) – (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Умножение на ноль

7 * 0 = 0 + … нет операций прибавления к нулю.

Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух “правил знаков” (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

  1. Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
  2. Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
  3. Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).

Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

+7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

-7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 – 7 – 7 – 7 = -21 (- + = -)

+7 * (-3) = 0 – (+7) – (+7) – (+7) = 0 – 7 – 7 – 7 = -21 (+ – = -)

-7 * (-3) = 0 – (-7) – (-7) – (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- – = +)

Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков “+” или “-” в правой части равенства.

Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

23 = 1*2*2*2 = 8

22 = 1*2*2 = 4

21 = 1*2 = 2

20 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

2-1 = 1 : 2 = 1/2

2-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

2-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

Математики согласны, что возведение числа в положительную степень – это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень – это многократное деление единицы.

Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*1 = 0 + 2 = 2

2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

2*-1 = 0 – 2 = -2

2*-2 = 0 – 2 – 2 = -4

2*-3 = 0 – 2 – 2 – 2 = -6

Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет “правила знаков”, умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

Разделить число 15 на 5 – значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

15 – 5 – 5 – 5 = 0

Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков “минус”. Их три.

15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

15 – 5 – 5 – 5 = 0 (деление 15 : 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

Деление с остатком.

17 – 5 – 5 – 5 – 2 = 0

17 : 5 = 3 и 2 остаток

Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

(10 * 3)

Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

10 + 10 + 10 = 30

Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

0 + 10 = = = 30

(Три раза нажимаем “равняется”.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 – 10 – 10 = -30 ?

Что значит знак минус у тройки? Может так?

(-10) * (-3) = (-10) – (-10) – (-10) = – 10 + 10 + 10 = 10?

Опс… Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

0 – (-10) = = = +30

или

(-10) * (-3) = 0 – (-10) – (-10) – (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

Правила знаков при сложении и вычитании

Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

Что такое “минус”, “отрицательный”?

Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов… Даже синус по своей природе может быть только положительным.

Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает “минус”?

Минус означает противоположное направление. Левый – правый. Верх – низ. По часовой стрелке – против часовой стрелки. Вперед – назад. Холодно – горячо. Легкий – тяжелый. Медленно – быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

“Минус бесконечности” в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие “минус”.

Итак, “минус” обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

Для понимания правил, нам нужно разделить:

  • первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
  • второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
  • направление операций сложения и вычитания.

Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак “плюс”). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак “минус”).

Пример. Схема в нижнем правом углу.

– 2 – (-3) = +1

Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус – знак числа на вертикальной оси.

Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

Операция вычитания

-2 -(-3) = +1

дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

-2 + (+3) = +1

Поэтому два рядом стоящих знака “минус” можно заменить одним знаком “плюс”.

Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти… Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

  1. Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
  2. Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
  3. На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.

Примечание.

Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках – это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

Правила 1 и 3 (по визуализации) – дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила…

1. +(+) = — ……… + (+) = + ???

2. +- = -(+)………. + – = -(+) ok

3. -(+) = +- ……… – (+) = – ???

4. — = +(+) ……… – – = +(+) ok

Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

– два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

– два правила, по которым можно не писать знак “плюс” у положительного числа.

Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

++ = — |||||||||| 2 +(+2) = 2 – (-2)

+- = -+ |||||||||| 2 + (-2) = 2 – (+2)

2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

-+ = – |||||||||| -(+2) = -2

++ = + |||||||||| +(+2) = +2

3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * – = – |||||||||| 2 * (-2) = -2

– * + = – |||||||||| -2 * 2 = – 2

– * – = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

 

В.Козаренко

Почта: support@ mnemonikon. ru

Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года

Источник: http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Путь права
Добавить комментарий